Gọi DE là đường kính của (O;R) 

Dễ thấy \(\hept{\begin{cases}AC\perp BD\\BE\perp BD\end{cases}}\)\(\Rightarrow BE\text{//}AC\Rightarrow BECA\)là hình thang mà BECA nội tiếp (O;R) nên BECA là hình thang cân.

Do đó ta có : AB = CE \(\Rightarrow AB^2+CD^2=CE^2+CD^2=DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\) không đổi.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

1: góc OMP=góc ONP=90 độ

=>OMNP nội tiếp

a)+)tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau AC=BD , vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

=> Tứ giác ABCD là hình vuông

+) Tam giác AOB vuông tại O, có OA=OB=R, theo Pytago thuận:

=> \(AB^2=OA^2+OB^2=2R^2\)

Khi đó diện tích tứ giác ABCD:

\(S=AB^2=2R^2\)

b) +) góc AEC=90' ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Ta có: góc MOC + góc MEC =180=> OMEC nội tiếp đường tròn đường kính MC

Theo Pytago thuận ta có:

\(MC^2=OM^2+OC^2=\frac{R^2}{4}+R^2=\frac{5R^2}{4}\Rightarrow MC=\frac{R\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow S=\frac{MC^2}{4}.\pi=\frac{5R^2}{16}.\pi\)

c) MA=MC (M thuộc trung trực AC)=> tam giác MAC cân tại M=> MCA=MAC

Tương tự, ta có OAE=OEA

=> OEA=MCA

=> \(\Delta OAE~\Delta MAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{OA}{MA}=\frac{AE}{AC}\Leftrightarrow MA.AE=OA.AC=2R^2\)